공통수학2유리함수와 무리함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

역함수와의 교점 조건

문제

함수 $\displaystyle f ( x ) = \frac{x ^{2}}{4} + a$ $( x \geq 0 )$ 의 역함수를 $g ( x )$ 라 할 때, 방정식 $f ( x ) = g ( x )$ 가 음이 아닌 서로 다른 두 실근을 가질 실수 $a$ 의 값의 범위는? [1.5점] ① $0 \leq a < 1$ ② $a \geq 0$ ③ $a < 1$ ④ $0 < a < 2$ ⑤ $a < 2$

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①

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해설

함수 $f ( x )$ 와 $g ( x )$ 는 서로 역함수이므로 직선 $y = x$ 와 대칭이다. 따라서, $y = f ( x )$ 와 $y = g ( x )$ 의 교점은 $y = f ( x )$ 와 $y = x$ 와의 교점과 같다. 곧, $\displaystyle \frac{x ^{2}}{4} + a = x$ 가 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로 $x ^{2} - 4 x + 4 a = 0$ 에서 $D / 4 = 4 - 4 a > 0$ $\therefore a < 1$ 그런데 $x \geq 0$ 이므로 음이 아닌 실근을 갖기 위해서는 $a \geq 0$ 이어야 한다. $\therefore 0 \leq a < 1$

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