공통수학1행렬과 그 연산수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

역함수와 역행렬 존재

문제

함수 y=f(x)y = f ( x )위의 임의의 점 P(a,b){\mathrm{P}} ( a , b )와 y=f(x)y = f ( x )의 역함수 y=f−1(x)y = f ^{-1} ( x )위의 임의의 점 Q(c,d){\mathrm{Q}} ( c , d )로 행렬 A=(abcd)\displaystyle A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}를 만든다. 다음 함수로 행렬 AA를 만들 때, 역행렬 A−1A ^{- 1}이 항상 존재하는 것은? [4점] ①y=x+1y = x + 1②y=log⁡xy = \log x③y=2xy = 2 ^{x}④y=x−1\displaystyle y = \sqrt{x - 1}⑤y=1x\displaystyle y = \frac{1}{x}

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④

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해설

그림과 같이 함수 y=f(x)y = f ( x )와 y=f−1(x)y = f ^{-1} ( x )의 그래프가 원점을 지나는 직선과 교점이 생길 때, 이를 각각 점 P(a,b){ P} ( a , b ), 점 Q(c,d){ Q} ( c , d )라 하면 ba=dc\displaystyle \frac{b}{a} = \frac{d}{c}가 성립하여 행렬 AA의 역행렬이 존재하지 않는다.

따라서 주어진 함수와 그 함수의 역함수가 원점을 지나는 직선과 항상 교점을 갖지 않는 함수는 y=x−1\displaystyle y = \sqrt{x - 1}이다.

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