역함수와 무한등비급수

함수 $\displaystyle f ( x ) = \frac{1}{2} ( 3 ^{x} - 3 ^{-x} )$의 역함수 $g ( x )$는 $\displaystyle x = \frac{1}{2} ( 3 ^{y} - 3 ^{-y} )$이므로 $\displaystyle 2 x = 3 ^{y} - \frac{1}{3 ^{y}}$ $3 ^{2y} - 2 x \bullet 3 ^{y} - 1 = 0$ $3 ^{y}$를 $t$로 치환하면 $t ^{2} - 2 xt - 1 = 0$ $\displaystyle t = x \pm \sqrt{x ^{2} + 1}$ $\displaystyle \therefore 3 ^{y} = x + \sqrt{x ^{2} + 1} ( \because 3 ^{y} > 0 )$ $\displaystyle \therefore g ( x ) = \log _{3} ( x + \sqrt{x ^{2} + 1} )$ 그런데, $\displaystyle g ( - x ) = \log _{3} ( - x + \sqrt{x ^{2} + 1} )$ $\displaystyle = \log _{3} \frac{( - x + \sqrt{x ^{2} + 1} ) ( x + \sqrt{x ^{2} + 1} )}{x + \sqrt{x ^{2} + 1}}$ $\displaystyle = \log _{3} \frac{1}{x + \sqrt{x ^{2} + 1}}$ $\displaystyle = - \log _{3} ( x + \sqrt{x ^{2} + 1} ) = - g ( x )$ 이므로 $g ( x ) \bullet g ( - x ) = g ( x ) \bullet \{ - g ( x ) \} = - \{ g ( x ) \} ^{2}$ 따라서 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \{ g ( x ) \bullet g ( - x ) \} ^{n} = \frac{- \{ g ( x ) \} ^{2}}{1 + \{ g ( x ) \} ^{2}} = - \frac{1}{5}$ $5 \{ g ( x ) \} ^{2} = 1 + \{ g ( x ) \} ^{2}$ $\displaystyle g ( x ) = \pm \frac{1}{2}$ 즉, $g ( x )$는 함수 $f ( x )$의 역함수이므로 $\displaystyle f {\left( \pm \frac{1}{2} \right) = x}$의 값을 구하면 된다. 따라서 $\displaystyle f {\left( \pm \frac{1}{2} \right) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}}$이므로 조건을 만족시키는 $x$의 값 전체의 곱은 $\displaystyle - \frac{1}{\sqrt{3}} \times \frac{1}{\sqrt{3}} = - \frac{1}{3}$이다.