역함수와 몫의 미분

[출제의도] 역함수의 미분법 이해하기 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2} {\frac{f \left( x \right) - 2}{x - 2}} = \frac{1}{3}$에서 $f \left( 2 \right) \mathit{=} 2$, $\displaystyle f' \left( 2 \right) \mathit{=} \frac{1}{3}$ $f \left( x \right)$는 함수 $g \left( x \right)$의 역함수이므로 $g \left( 2 \right) = 2$ $\displaystyle g' \left( 2 \right) \mathit{=} \frac{1}{f' \left( g \left( 2 \right) \right)} = \frac{1}{f' \left( 2 \right)} = 3$ $f \left( 2 \right) \ne 0$이고 두 함수 $f \left( x \right)$, $g \left( x \right)$는 양의 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로 함수 $h \left( x \right)$는 $x = 2$에서 미분가능하다. $h' \left( x \right)$$\displaystyle = \frac{g' \left( x \right) f \left( x \right) - g \left( x \right) f' \left( x \right)}{\left\{ f \left( x \right) \right\} ^{2}}$ $h' \left( 2 \right)$$\displaystyle = \frac{g' \left( 2 \right) f \left( 2 \right) - g \left( 2 \right) f' \left( 2 \right)}{\left\{ f \left( 2 \right) \right\} ^{2}}$$\displaystyle = \frac{3 \times 2 - 2 \times \frac{1}{3}}{2 ^{2}}$$\displaystyle = \frac{6 - \frac{2}{3}}{4} = \frac{4}{3}$