미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

역함수와 매개변수 미분

문제

함수 f(x)=x3+x+1f ( x ) = x ^{3} + x + 1의 역함수를 g(x)g ( x )라 하자. 매개변수 tt로 나타내어진 곡선 x=g(t)+tx = g \left( t \right) + t, y=g(t)−ty = g \left( t \right) - t 에서 t=3t = 3일 때, dydx\displaystyle \frac{d y}{d x}의 값은? [3점] ①−15\displaystyle - \frac{1}{5}②−310\displaystyle - \frac{3}{10}③−25\displaystyle - \frac{2}{5}④−12\displaystyle - \frac{1}{2}⑤−35\displaystyle - \frac{3}{5}

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⑤

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해설

[출제의도] 여러 가지 미분법 이해하기 g(3)=kg \left( 3 \right) = k라 하면 f(k)=k3+k+1=3f \left( k \right) = k ^{3} + k + 1 = 3에서 k=1k = 1 f′(x)=3x2+1f' \left( x \right) = 3 x ^{2} + 1이므로 f′(1)=4f' \left( 1 \right) = 4 g′(3)=g′(f(1))=1f′(1)=14\displaystyle g' \left( 3 \right) = g' \left( f \left( 1 \right) \right) = \frac{1}{f' \left( 1 \right)} = \frac{1}{4} dxdt=g′(t)+1\displaystyle \frac{dx}{dt} = g' \left( t \right) + 1, dydt=g′(t)−1\displaystyle \frac{dy}{dt} = g' \left( t \right) - 1이므로 dydx=dydtdxdt=g′(t)−1g′(t)+1\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{g' \left( t \right) - 1}{g' \left( t \right) + 1} 따라서 t=3t = 3일 때, dydx\displaystyle \frac{dy}{dx}의 값은 g′(3)−1g′(3)+1=14−114+1=−35\displaystyle \frac{g' \left( 3 \right) - 1}{g' \left( 3 \right) + 1} = \frac{\frac{1}{4} - 1}{\frac{1}{4} + 1} = - \frac{3}{5}

태그

#역함수의 미분법#매개변수로 나타낸 함수의 미분법

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