역함수와 일치하는 유리함수

[출제의도] 유리함수의 그래프의 점근선 이해하기 유리함수 $\displaystyle y = \frac{2 x - 1}{x - a}$의 그래프와 그 역함수의 그래프가 일치하려면 두 점근선의 교점이 직선 $y = x$ 위에 있어야 한다. $\displaystyle y = \frac{2 x - 1}{x - a} = \frac{2 \left( x - a \right) + 2 a - 1}{x - a} = \frac{2 a - 1}{x - a} + 2$ 이므로 점근선은 두 직선 $x = a$, $y = 2$ 따라서 $a = 2$ [다른풀이] 함수 $\displaystyle y = \frac{2 x - 1}{x - a}$ ($x \neq a$, $y \neq 2$)의 역함수를 구하면 $\displaystyle x = \frac{2 y - 1}{y - a}$ ($x \neq 2$, $y \neq a$) $x \left( y - a \right) = 2 y - 1$ $\left( x - 2 \right) y = ax - 1$ $\displaystyle y = \frac{ax - 1}{x - 2}$ $\displaystyle y = \frac{2 x - 1}{x - a}$과 $\displaystyle y = \frac{ax - 1}{x - 2}$의 그래프가 일치하므로 $a = 2$