공통수학2함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

역함수와 합성함수

문제

양의 실수 전체의 집합 XX에서 XX로의 일대일대응인 두 함수 f,gf , g에 대하여 f−1(x)=x2,(f∘g−1)(x2)=xf ^{- 1} ( x ) = x ^{2} , ( f \circ g ^{- 1} ) ( x ^{2} ) = x 일 때, (f∘g)(20)( f \circ g ) ( 20 )의 값은? (단, f−1f ^{- 1}, g−1g ^{- 1}는 각각 f,gf , g의 역함수이다.) [4점] ①25\displaystyle 2 \sqrt{5}②410\displaystyle 4 \sqrt{10}③4040④200200⑤400400

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①

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해설

[출제의도] 역함수와 합성함수의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다. f−1(x)=x2f ^{-1} ( x ) = x ^{2}에서 f(x2)=xf ( x ^{2} ) = x … ㉠ (f∘g−1)(x2)=x( f \circ g ^{-1} ) ( x ^{2} ) = x에서 f(g−1(x2))=xf ( g ^{-1} ( x ^{2} ) ) = x … ㉡ ff는 일대일 대응이므로 ㉠, ㉡ 에서 g−1(x2)=x2g ^{-1} ( x ^{2} ) = x ^{2} ∴ g(x2)=x2g ( x ^{2} ) = x ^{2} 따라서 g(20)=20,f(20)=20=25\displaystyle g ( 20 ) = 20 , f ( 20 ) = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5}이므로 (f∘g)(20)( f \circ g ) ( 20 )=f(g(20))= f ( g ( 20 ) )=f(20)= f ( 20 )=25\displaystyle = 2 \sqrt{5}

태그

#역함수#합성함수

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