역함수와 곱 미분

[출제의도] 합성함수의 미분법을 이용하여 함수의 미분계수를 구한다. $f ( 1 )$$= ( 1 + a + b ) e$$= e$에서 $a + b = 0$ …… ㉠ $f' ( x )$$= \left\{ x ^{2} + ( a + 2 ) x + a + b \right\} e ^{x}$이므로 $f' ( 1 )$$= \left\{ 1 + ( a + 2 ) + a + b \right\} e$$= e$에서 $2 a + b = \mathit{-} 2$ …… ㉡ ㉠, ㉡에서 $a = \mathit{-} 2$, $b = 2$ $f ( x )$$= ( x ^{2} - 2 x + 2 ) e ^{x}$에서 $f' ( x )$$= x ^{2} e ^{x}$ $f'' ( x )$$= x ( x + 2 ) e ^{x}$이므로 $f'' ( 1 )$$= 3 e$ 이때 모든 실수 $x$에 대하여 $f' \left( x \right) \geq 0$이므로 함수 $f \left( x \right)$는 역함수가 존재한다. $f \left( 1 \right) = e$에서 $f ^{- 1} \left( e \right) = 1$이므로 역함수의 미분법에 의하여 $\left( f ^{- 1} \right)' \left( e \right)$$\displaystyle = \frac{1}{f' \left( 1 \right)}$$\displaystyle = \frac{1}{e}$ 한편 $g \left( f \left( 1 \right) \right) = f' \left( 1 \right)$, 즉 $g \left( e \right) = e$이고 $g \left( f \left( x \right) \right) = f' \left( x \right)$의 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $g' \left( f \left( x \right) \right) f' \left( x \right) = f'' \left( x \right)$ …… ㉢ ㉢의 양변에 $x = 1$을 대입하면 $g' \left( f \left( 1 \right) \right) f' \left( 1 \right) = f'' \left( 1 \right)$ $g' \left( e \right) \times e = 3 e$ $g' \left( e \right) = 3$ 따라서 $h' \left( e \right)$$= \left( f ^{- 1} \right)' \left( e \right) g \left( e \right) + f ^{- 1} \left( e \right) g' \left( e \right)$ $\displaystyle = \frac{1}{e} \times e + 1 \times 3$$= 4$