역함수와 같은 함수

[출제의도] 역함수를 이용하여 추론하기 $f \left( - 2 \right) = k$라 하면 함수 $f ( x )$가 역함수를 가지므로 $f ^{- 1} \left( k \right) = - 2$ 모든 실수 $x$에 대하여 $f \left( x \right) = f ^{- 1} \left( x \right)$이므로 $f \left( k \right) = - 2$ $- 2 x ^{2} + 1 = - 2$에서 $\displaystyle x ^{2} = \frac{3}{2}$ $f \left( x ^{2} + 1 \right) = - 2 x ^{2} + 1$에 $\displaystyle x ^{2} = \frac{3}{2}$을 대입하면 $\displaystyle f \left( \frac{5}{2} \right) = - 2$ 함수 $f \left( x \right)$가 역함수를 가지므로 일대일대응이다. 따라서 $\displaystyle k = \frac{5}{2}$ [참고] $\displaystyle f \left( x \right) = {\begin{cases} - \frac{1}{2} x + \frac{3}{2} & & \left( x < 1 \right) \\ - 2 x + 3 & & \left( x > 1 \right) \end{cases}}$