미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

역함수의 미분계수

문제

함수 $f \left( x \right) = x ^{3} + 3 x$ 의 역함수를 $g \left( x \right)$ 라 할 때, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 4} {\frac{g \left( x \right) - g \left( 4 \right)}{x - 4}}$ 의 값은? [3점]

① $\displaystyle \frac{1}{6}$ ② $\displaystyle \frac{1}{5}$ ③ $\displaystyle \frac{1}{4}$ ④ $\displaystyle \frac{1}{3}$ ⑤ $\displaystyle \frac{1}{2}$

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①

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해설

[출제의도] 역함수의 미분법 이해하기 $g \left( 4 \right) = k$ 라 하자. $f \left( k \right) = 4$ 이므로 $k ^{3} + 3 k - 4 = 0$ $\left( k - 1 \right) \left( k ^{2} + k + 4 \right) = 0$ $\therefore$ $k = 1$ $f' \left( x \right) = 3 x ^{2} + 3$ 에서 $f' \left( 1 \right) = 6$ 역함수의 미분법에 의하여 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 4} {\frac{g \left( x \right) - g \left( 4 \right)}{x - 4}} = g' \left( 4 \right) = \frac{1}{f' \left( 1 \right)} = \frac{1}{6}$

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