역함수의 미분계수

[출제의도] 역함수의 미분법을 이용하여 미분계수를 구할 수 있는가? 함수 $g \left( x \right)$는 함수 $f \left( x \right) = x ^{3} + 2 x + 3$의 역함수이므로 $x = y ^{3} + 2 y + 3$ $\cdots \cdots$ ㉠ $x = 3$일 때, $3 = y ^{3} + 2 y + 3$ $y \left( y ^{2} + 2 \right) = 0$ $y = 0$ 또, ㉠의 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $\displaystyle 1 = \left( 3 y ^{2} + 2 \right) \frac{dy}{dx}$ $\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{1}{3 y ^{2} + 2}$ 따라서 $\displaystyle g' \left( 3 \right) = \frac{1}{3 \times 0 ^{2} + 2} = \frac{1}{2}$