미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

역함수의 미분계수

문제

함수 $f \left( x \right) = x ^{3} + x + 1$ 의 역함수를 $g \left( x \right)$ 라 할 때, $g' \left( 1 \right)$ 의 값은? [3점] ① $\displaystyle \frac{1}{3}$ ② $\displaystyle \frac{2}{5}$ ③ $\displaystyle \frac{2}{3}$ ④ $\displaystyle \frac{4}{5}$ ⑤ $1$

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⑤

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[출제의도] 역함수의 미분법을 이용하여 미분계수를 구할 수 있는가? $f ( 0 ) = 1$ 이므로 $g ( 1 ) = 0$ 또, $f' ( x ) = 3 x ^{2} + 1$ 이므로 $f' ( 0 ) = 1$ $f ( g ( x ) ) = x$ $f' ( g ( x ) g' ( x ) = 1$ $\displaystyle g' ( 1 ) = \frac{1}{f' ( g ( 1 ) )} = \frac{1}{f' ( 0 )}$ $= 1$

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