역함수의 미분법

$g \left( x \right) = f \left( e ^{x} \right) + e ^{x}$에서 $g' \left( x \right) = f' \left( e ^{x} \right) \times e ^{x} + e ^{x}$ 곡선 $y = g \left( x \right)$ 위의 점 $\left( 0 , g \left( 0 \right) \right)$에서의 접선이 $x$축이므로 $g \left( 0 \right) = 0$, $g' \left( 0 \right) = 0$ $f \left( 1 \right) + 1 = 0$, $f' \left( 1 \right) + 1 = 0$ 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $g \left( x \right)$가 역함수를 가지므로 실수 전체의 집합에서 $g' \left( x \right) \geq 0$ 또는 $g' \left( x \right) \leq 0$ $g' \left( x \right) = e ^{x} \times \left\{ f' \left( e ^{x} \right) + 1 \right\}$이고 $f' \left( x \right)$의 최고차항의 계수가 양수이므로 $g' \left( x \right) \geq 0$ 모든 실수 $x$에 대하여 $f' \left( e ^{x} \right) + 1 \geq 0$이므로, 모든 양수 $t$에 대하여 $f' \left( t \right) \geq - 1$ $f' \left( 1 \right) = - 1$이므로 $f' \left( t \right) = 3 \left( t - 1 \right) ^{2} - 1 = 3 t ^{2} - 6 t + 2$ $f \left( x \right)$$\displaystyle = \int _{} ^{} {f' \left( x \right) dx}$ $\displaystyle = \int _{} ^{} {\left( 3 x ^{2} - 6 x + 2 \right) dx}$ $= x ^{3} - 3 x ^{2} + 2 x + C$ (단, $C$는 적분상수) $f \left( 1 \right) = - 1$이므로 $C = - 1$ $f \left( x \right) = x ^{3} - 3 x ^{2} + 2 x - 1$ $g \left( x \right) = f \left( e ^{x} \right) + e ^{x} = \left( e ^{x} - 1 \right) ^{3}$ $g' \left( x \right) = 3 e ^{x} \left( e ^{x} - 1 \right) ^{2}$ 함수 $h \left( x \right)$가 함수 $g \left( x \right)$의 역함수이므로 $\displaystyle h' \left( x \right) = \frac{1}{g' \left( h \left( x \right) \right)}$, $\displaystyle h' \left( 8 \right) = \frac{1}{g' \left( h \left( 8 \right) \right)}$ $g \left( \ln 3 \right) = 8$이므로 $h \left( 8 \right) = \ln 3$ $g' \left( \ln 3 \right) = 3 \times 3 \times 2 ^{2} = 36$이므로 $\displaystyle h' \left( 8 \right) = \frac{1}{g' \left( \ln 3 \right)} = \frac{1}{36}$