미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

역함수의 미분

문제

열린 구간 (0,1)( 0 , 1 )에서 정의된 함수 f(x)f ( x )와 f(x)f ( x )의 역함수 g(x)g ( x )는 미분가능한 함수이다. 0<t<π2\displaystyle 0 < t < \frac{\pi}{2}인 실수 tt에 대하여 f(cos⁡t)=tan⁡tf ( \cos t ) = \tan t일 때, g′(1)g' ( 1 )의 값은? [3점] ①−14\displaystyle - \frac{1}{4}②−24\displaystyle - \frac{\sqrt{2}}{4}③−34\displaystyle - \frac{\sqrt{3}}{4}④−12\displaystyle - \frac{1}{2}⑤−54\displaystyle - \frac{\sqrt{5}}{4}

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②

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해설

[출제의도] 역함수의 미분법을 이용하여 문제해결하기 t=π4\displaystyle t = \frac{\pi}{4}일 때, f(22)=1\displaystyle f \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 1이므로 g(1)=22\displaystyle g ( 1 ) = \frac{\sqrt{2}}{2} f(cos⁡t)=tan⁡tf ( \cos t ) = \tan t의 양변을 미분하면 (−sin⁡t)×f′(cos⁡t)=sec⁡2t( - \sin t ) \times f' ( \cos t ) = \sec ^{2} t (−22)×f′(22)=2\displaystyle \left( - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \times f' \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 2 이므로 f′(22)=−22\displaystyle f' \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = - 2 \sqrt{2} ∴g′(1)=1f′(g(1))=1f′(22)=1−22=−24\displaystyle \therefore g' ( 1 ) = \frac{1}{f' ( g ( 1 ) )} = \frac{1}{f' \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)} = \frac{1}{- 2 \sqrt{2}} = - \frac{\sqrt{2}}{4}

태그

#역함수의 미분법#합성함수의 미분

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