미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

역함수의 미분

문제

양의 실수 전체의 집합에서 증가하고 미분가능한 함수 f(x)f ( x )에 대하여 f(e)=e+1,f′(e)=1e+1\displaystyle f ( e ) = e + 1 , f' ( e ) = \frac{1}{e} + 1 이다. 함수 f(ex)f ( e ^{x} )의 역함수를 g(x)g ( x )라 할 때, g′(e+1)g' ( e + 1 )의 값은? [3점] ①1e+2\displaystyle \frac{1}{e + 2}②1e+1\displaystyle \frac{1}{e + 1}③1e\displaystyle \frac{1}{e}④1e−1\displaystyle \frac{1}{e - 1}⑤1e−2\displaystyle \frac{1}{e - 2}

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②

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해설

[출제의도] 역함수의 미분계수 이해하기 함수 f(ex)f ( e ^{x} )의 역함수가 g(x)g ( x )이므로 g(f(ex))=xg ( f ( e ^{x} ) ) = x가 된다. 양변을 xx에 대하여 미분하면 g′(f(ex))×f′(ex)×ex=1g' ( f ( e ^{x} ) ) \times f' ( e ^{x} ) \times e ^{x} = 1이 성립하고 f(e)=e+1f ( e ) = e + 1 이므로 x=1x = 1을 대입하면 g′(f(e))×f′(e)×e=1g' ( f ( e ) ) \times f' ( e ) \times e = 1 g′(e+1)×(e+1)=1g' ( e + 1 ) \times ( e + 1 ) = 1 g′(e+1)=1e+1\displaystyle g' ( e + 1 ) = \frac{1}{e + 1}

태그

#역함수 미분#합성함수 미분

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