미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

역함수의 미분

문제

함수 f(x)=11+e−x\displaystyle f ( x ) = \frac{1}{1 + e ^{-x}}의 역함수를 g(x)g ( x )라 할 때, g′(f(−1))g' ( f ( - 1 ) )의 값은? [3점] ①1(1+e)2\displaystyle \frac{1}{( 1 + e ) ^{2}}②e1+e\displaystyle \frac{e}{1 + e}③(1+ee)2\displaystyle \left( \frac{1 + e}{e} \right) ^{2}④e21+e\displaystyle \frac{e ^{2}}{1 + e}⑤(1+e)2e\displaystyle \frac{( 1 + e ) ^{2}}{e}

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⑤

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해설

[출제의도] 역함수의 미분법을 이용하여 미분계수를 구할 수 있는가? f′(x)=e−x(1+e−x)2\displaystyle f' ( x ) = \frac{e ^{- x}}{\left( 1 + e ^{- x} \right) ^{2}}에서 f′(−1)=e(1+e)2\displaystyle f' ( - 1 ) = \frac{e}{\left( 1 + e \right) ^{2}} 따라서 g′(f(−1))=1f′(−1)=(1+e)2e\displaystyle g' \left( f ( - 1 ) \right) = \frac{1}{f' ( - 1 )} = \frac{\left( 1 + e \right) ^{2}}{e}

태그

#역함수의 미분법

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