미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

역함수의 접선 기울기

문제

실수 전체의 집합에서 증가하고 미분가능한 함수 f(x)f ( x )가 있다. 곡선 y=f(x)y = f ( x )위의 점 (2,1)( 2 , 1 )에서의 접선의 기울기는 11이다. 함수 f(2x)f ( 2 x )의 역함수를 g(x)g ( x )라 할 때, 곡선 y=g(x)y = g ( x )위의 점 (1,a)( 1 , a )에서의 접선의 기울기는 bb이다. 10(a+b)10 ( a + b )의 값을 구하시오. [4점]

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해설

주어진 조건에서 f(2)=1f ( 2 ) = 1, f′(2)=1f' ( 2 ) = 1 y=f(2x)y = f ( 2 x )의 역함수는 x=f(2y)x = f ( 2 y ), 2y=f−1(x)2 y = f ^{-1} ( x ), y=12f−1(x)=g(x)\displaystyle y = \frac{1}{2} f ^{-1} ( x ) = g ( x ) g(1)=12f−1(1)=12⋅2=1=a\displaystyle g ( 1 ) = \frac{1}{2} f ^{-1} ( 1 ) = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1 = a g′(1)=12⋅1f′(2)=12=b\displaystyle g' ( 1 ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{f' ( 2 )} = \frac{1}{2} = b ∴10(a+b)=15\therefore 10 ( a + b ) = 15

태그

#역함수의 미분

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