공통수학2함수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

역함수의 함숫값

문제

[13 ~ 14] 자연수 ${n}$ 에 대하여 좌표가 ${( 0 , 3 n + 1 )}$ 인 점을 ${\mathrm{P} _{\mathit{n}}}$ , 함수 ${f ( x ) = x ^{2} ( x \geq 0 )}$ 이라 하자. 점 ${\mathrm{P} _{\mathit{n}}}$ 을 지나고 ${x}$ 축과 평행한 직선이 곡선 $y = f ( x )$ 와 만나는 점을 ${\mathrm{Q} _{\mathit{n}}}$ 이라 할 때, 13번과 14번의 두 물음에 답하시오.

점 $\mathrm{Q} _{\mathit{n}}$ 의 $y$ 좌표를 $a _{n}$ 이라 할 때, $f ^{- 1} ( a _{2} ) \cdot f ^{- 1} ( a _{9} )$ 의 값은? [3점] ① $\displaystyle \frac{7 \sqrt{2}}{2}$ ② $7$ ③ $\displaystyle 7 \sqrt{2}$ ④ $\displaystyle 7 \sqrt{3}$ ⑤ $14$

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⑤

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해설

[출제의도] 거듭제곱근의 성질을 이해하여 식의 값을 구한다. 점 $\mathrm{Q} _{\mathit{n}}$ 의 $y$ 좌표는 점 $\mathrm{P} _{\mathit{n}}$ 의 $y$ 좌표와 같다. $a _{n}$ $= 3 n + 1$ 이므로 $a _{2}$ $= 7$ , $a _{9}$ $= 28$ $y$ $= x ^{2} ( x \geq 0 )$ 의 역함수는 $f ^{- 1} ( x )$ $\displaystyle = \sqrt{{x}}$ $\left( x \geq 0 \right)$ 이다. 그러므로 $f ^{- 1} ( a _{2} )$ $\displaystyle = \sqrt{7}$ , $f ^{- 1} ( a _{9} )$ $\displaystyle = \sqrt{28}$ 따라서 $f ^{- 1} ( a _{2} ) f ^{- 1} ( a _{9} )$ $\displaystyle = \sqrt{7} \times \sqrt{28}$ $\displaystyle = \sqrt{7 \times 28}$ $\displaystyle = \sqrt{196}$ $= 14$

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