미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

역함수 미분계수 극한

문제

$\displaystyle x \geq \frac{1}{e}$ 에서 정의된 함수 $f ( x ) = 3 x \ln x$ 의 그래프가 점 $( e , 3 e )$ 를 지난다. 함수 $f ( x )$ 의 역함수를 $g ( x )$ 라고 할 때, $\displaystyle \lim\limits _{h\rightarrow o} \frac{g ( 3 e + h ) - g ( 3 e - h )}{h}$ 의 값은? [3점]

① $\displaystyle \frac{1}{3}$ ② $\displaystyle \frac{1}{2}$ ③ $\displaystyle \frac{2}{3}$ ④ $\displaystyle \frac{5}{6}$ ⑤ $1$

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①

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해설

$\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0} \frac{g ( 3 e + h ) - g ( 3 e - h )}{h = 2 g ' ( 3 e )}$ 이고 $f ( e ) = 3 e$ 이므로 역함수 미분법에 의해 $\displaystyle g' ( 3 e ) = \frac{1}{f' ( e )}$ $f' ( x ) = 3 \ln x + 3$ $f' ( e ) = 6$ 이므로 $\displaystyle g' ( 3 e ) = \frac{1}{6}$ $\displaystyle \therefore 2 g' ( 3 e ) = \frac{1}{3}$

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