미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

역함수 미분계수

문제

함수 $f ( x ) = x ^{3} + 5 x + 3$ 의 역함수를 $g ( x )$ 라 할 때, $g' ( 3 )$ 의 값은? [3점] ① $\displaystyle \frac{1}{7}$ ② $\displaystyle \frac{1}{6}$ ③ $\displaystyle \frac{1}{5}$ ④ $\displaystyle \frac{1}{4}$ ⑤ $\displaystyle \frac{1}{3}$

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③

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해설

$f ( g ( x ) ) = x$ 의 양변을 미분하면 $f' ( g ( x ) ) g' ( x ) = 1$ $\displaystyle g' ( x ) = \frac{1}{f' ( g ( x ) )}$ 이다. $f ( 0 ) = 3$ 이므로 $g ( 3 ) = 0$ $f' ( x ) = 3 x ^{2} + 5$ 에서 $f' ( 0 ) = 5$ $\displaystyle g' ( 3 ) = \frac{1}{f' ( 0 )} = \frac{1}{5}$

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