미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

역함수 미분계수

문제

함수 f(x)=1ex+2\displaystyle f ( x ) = \frac{1}{e ^{x} + 2}의 역함수 g(x)g ( x )에 대하여 g′(14)\displaystyle g' \left( \frac{1}{4} \right)의 값은? [3점] ①−5- 5②−6- 6③−7- 7④−8- 8⑤−9- 9

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해설

[출제의도] 역함수의 미분법을 이해한다. g(14)=k\displaystyle g \left( \frac{1}{4} \right) = k라 하면 f(k)=14\displaystyle f \left( k \right) = \frac{1}{4} 1ek+2=14\displaystyle \frac{1}{e ^{k} + 2} = \frac{1}{4}이므로 ek=2e ^{k} = 2, 즉 k=ln⁡2k = \ln 2 f′(x)=−ex(ex+2)2\displaystyle f' ( x ) = \mathit{-} \frac{e ^{x}}{\left( e ^{x} + 2 \right) ^{2}}이므로 f′(ln⁡2)f' ( \ln 2 )=−18\displaystyle = \mathit{-} \frac{1}{8} 따라서 g′(14)\displaystyle g' \left( \frac{1}{4} \right)=1f′(ln⁡2)\displaystyle = \frac{1}{f' ( \ln 2 )}=−8= \mathit{-} 8

태그

#역함수 미분

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