역함수 미분과 코사인

함수 $g \left( x \right)$는 일대일함수이므로 $\displaystyle \left| \frac{\pi}{4} \left( f \left( 2 \right) - f \left( 0 \right) \right) \right| \leq \pi$즉, $\left| f \left( 2 \right) - f \left( 0 \right) \right| \leq 4$ $f \left( 0 \right) = - b - 2$, $f \left( 2 \right) = b - 2$이므로 $\left| 2 b \right| \leq 4$, $- 2 \leq b \leq 2$ $0 \leq x _{1} \leq 2$, $0 \leq x _{2} \leq 2$인 $x _{1}$, $x _{2}$에 대하여 $f \left( x _{1} \right) = f \left( x _{2} \right)$라 하면 $g \left( x _{1} \right) = g \left( x _{2} \right)$이고 함수 $g \left( x \right)$가 역함수를 가지므로 $x _{1} = x _{2}$ 그러므로 함수 $f \left( x \right)$는 $0 \leq x \leq 2$에서 증가하거나 $0 \leq x \leq 2$에서 감소한다. (ⅰ) $b = - 1$인 경우 $f \left( 0 \right) = - 1$, $f \left( 1 \right) = - a - 2$, $f \left( 2 \right) = - 3$ $- 3 < - a - 2 < - 1$인 $a \left( a \neq 0 \right)$은 존재하지 않는다. (ⅱ) $b = 0$인 경우 $f \left( 0 \right) = f \left( 2 \right)$, $g \left( 0 \right) = g \left( 2 \right)$이므로 함수 $g \left( x \right)$는 일대일함수가 아니다. (ⅲ) $b = 1$인 경우 $f \left( 0 \right) = - 3$, $f \left( 1 \right) = - a - 2$, $f \left( 2 \right) = - 1$ $- 3 < - a - 2 < - 1$인 $a \left( a \neq 0 \right)$은 존재하지 않는다. (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 $b = - 2$ 또는 $b = 2$ $b = - 2$이면 $f \left( 0 \right) = 0$, $f \left( 2 \right) = - 4$에서 $g \left( 0 \right) = - 2$, $g \left( 2 \right) = 2$ 이므로 함수 $g \left( x \right)$는 $0 \leq x \leq 2$에서 증가한다. $b = 2$이면 $f \left( 0 \right) = - 4$, $f \left( 2 \right) = 0$에서 $g \left( 0 \right) = 2$, $g \left( 2 \right) = - 2$ 이므로 함수 $g \left( x \right)$는 $0 \leq x \leq 2$에서 감소한다. $\displaystyle h \left( - \sqrt{2} \right) = c$라 하면 $\displaystyle g \left( c \right) = - \sqrt{2}$이므로 $0 < c < 2$이다. $\displaystyle h' \left( - \sqrt{2} \right) = \frac{1}{g' \left( h \left( - \sqrt{2} \right) \right)} = \frac{1}{g' \left( c \right)}$에서 $b = - 2$일 때 $g' \left( c \right) \geq 0$이고 $b = 2$일 때 $g' \left( c \right) \leq 0$이므로 $b = - 2$일 때 $\displaystyle h' \left( - \sqrt{2} \right)$의 값이 최대이다. $\displaystyle g \left( 0 \right) = - 2 \cos \left( \frac{\pi}{4} f \left( 0 \right) \right) = - 2$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} g \left( x \right) = f \left( 0 \right) + 2 = 2$ 이고 함수 $g \left( x \right)$가 역함수를 가지므로 $x < 0$에서 함수 $g \left( x \right) = f \left( x \right) + 2$는 감소한다. $x \rightarrow - \infty$일 때 $f \left( x \right) \rightarrow \infty$이므로 $a < 0$에서 $x > 2$일 때 함수 $g \left( x \right) = f \left( x \right) + 2$는 감소한다. 함수 $f \left( x \right)$는 $0 \leq x \leq 2$에서 증가하거나 $0 \leq x \leq 2$에서 감소하고 $f ( 0 ) > f ( 2 )$이므로 함수 $f ( x )$는 $0 \leq x \leq 2$에서 감소한다. 즉 함수 $f \left( x \right)$는 실수 전체의 집합에서 감소한다. $b = - 2$에서 $f \left( x \right) = ax ^{3} - 2 ax ^{2} - 2 x$, $f' \left( x \right) = 3 ax ^{2} - 4 ax - 2$ 모든 실수 $x$에 대하여 $f' \left( x \right) \leq 0$이므로 이차방정식 $3 ax ^{2} - 4 ax - 2 = 0$의 판별식을 $D$라 하면 $\displaystyle \frac{D}{4} = \left( - 2 a \right) ^{2} - 3 a \times \left( - 2 \right) \leq 0$, $2 a \left( 2 a + 3 \right) \leq 0$, $\displaystyle - \frac{3}{2} \leq a \leq 0$ $a$는 음의 정수이므로 $a = - 1$ $\displaystyle g \left( c \right) = - \sqrt{2} \left( 0 < c < 2 \right)$이므로 $\displaystyle - 2 \cos \left( \frac{\pi}{4} f \left( c \right) \right) = - \sqrt{2}$ $- 4 < f \left( c \right) < 0$이므로 $f \left( c \right) = - 1$ $- c ^{3} + 2 c ^{2} - 2 c = - 1$, $\left( c - 1 \right) \left( c ^{2} - c + 1 \right) = 0$, $c = 1$ $\displaystyle h' \left( - \sqrt{2} \right) = \frac{1}{g' \left( 1 \right)} = \frac{1}{2 \sin \left( \frac{\pi}{4} f \left( 1 \right) \right) \times \frac{\pi}{4} f' \left( 1 \right)} = \frac{2 \sqrt{2}}{\pi}$ 따라서 $\displaystyle k = 2 \sqrt{2}$, $k ^{2} = 8$