역함수 미분과 h'(5)

[출제의도] 역함수의 미분법을 활용할 수 있는가? $h \left( t \right) = t \times \left\{ f \left( t \right) - g \left( t \right) \right\}$이므로 $h' \left( t \right) = \left\{ f \left( t \right) - g \left( t \right) \right\} + t \times \left\{ f' ( t ) - g' ( t ) \right\}$ 그러므로 $h' \left( 5 \right) = \left\{ f \left( 5 \right) - g \left( 5 \right) \right\} + 5 \left\{ f' ( 5 ) - g' ( 5 ) \right\}$ $\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot$ ㉠ 한편, $y = x ^{3} + 2 x ^{2} - 15 x + 5$와 직선 $y = 5$가 만나는 점의 $x$좌표는 $x ^{3} + 2 x ^{2} - 15 x + 5 = 5$ $x \left( x ^{2} + 2 x - 15 \right) = 0$ $x \left( x + 5 \right) \left( x - 3 \right) = 0$ $\therefore x = \mathit{-} 5$ 또는 $x = 0$ 또는 $x = 3$ 그러므로 $f \left( 5 \right) = 3 , g \left( 5 \right) = \mathit{-} 5$ $\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot$ ㉡ 한편, $y' = 3 x ^{2} + 4 x - 15$에서 $\displaystyle f' ( 5 ) = \frac{1}{3 \cdot 3 ^{2} + 4 \cdot 3 - 15} = \frac{1}{24}$ $\displaystyle g' ( 5 ) = \frac{1}{3 \cdot \left( - 5 \right) ^{2} + 4 \cdot \left( - 5 \right) - 15} = \frac{1}{40}$ $\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot$ ㉢ ㉡과 ㉢을 ㉠에 대입하면 $h' \left( 5 \right)$$\displaystyle = \left\{ 3 - \left( - 5 \right) \right\} + 5 \left( \frac{1}{24} - \frac{1}{40} \right)$ $\displaystyle = 8 + \frac{1}{12}$ $\displaystyle = \frac{97}{12}$