미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

역함수 미분과 곱

문제

실수 전체의 집합에서 미분가능한 두 함수 f(x)f \left( x \right), g(x)g \left( x \right)가 있다. f(x)f \left( x \right)가 g(x)g \left( x \right)의 역함수이고 f(1)=2f \left( 1 \right) = 2, f′(1)=3f' \left( 1 \right) = 3이다. 함수 h(x)=xg(x)h \left( x \right) = xg \left( x \right)라 할 때, h′(2)h' \left( 2 \right)의 값은? [3점] ①11②43\displaystyle \frac{4}{3}③53\displaystyle \frac{5}{3}④22⑤73\displaystyle \frac{7}{3}

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③

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해설

[출제의도] 역함수의 미분법을 이용하여 미분계수를 구할 수 있는가? 함수 f(x)f \left( x \right)의 역함수가 g(x)g \left( x \right)이고 f(1)=2f \left( 1 \right) = 2, f′(1)=3f' \left( 1 \right) = 3 이므로 g(2)=1g \left( 2 \right) = 1 g′(2)=1f′(g(2))=1f′(1)=13\displaystyle g' \left( 2 \right) = \frac{1}{f' \left( g \left( 2 \right) \right)} = \frac{1}{f' \left( 1 \right)} = \frac{1}{3} 한편, 함수 h(x)=xg(x)h \left( x \right) = xg \left( x \right)에서 h′(x)=g(x)+xg′(x)h' \left( x \right) = g \left( x \right) + xg' \left( x \right) 따라서 h′(2)h' \left( 2 \right)=g(2)+2g′(2)= g \left( 2 \right) + 2 g' \left( 2 \right)=1+2×13\displaystyle = 1 + 2 \times \frac{1}{3}=53\displaystyle = \frac{5}{3}

태그

#역함수의 미분법#곱의 미분

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