역함수 미분 조건

[출제의도] 역함수의 미분을 이용하여 조건을 만족하는 함숫값을 구한다. $g ( f ( x ) )$$= x$의 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $g' ( f ( x ) ) f' ( x )$$= 1$ 조건 (나)에서 $g' ( f ( x ) ) \ne 0$이고 $g' ( f ( x ) )$$\displaystyle = \frac{1}{f' ( x )}$이므로 $f ( x ) g' ( f ( x ) )$$\displaystyle = \frac{f ( x )}{f' ( x )}$$\displaystyle = \frac{1}{x ^{2} + 1}$ $\displaystyle \frac{f' ( x )}{f ( x )}$$= x ^{2} + 1$ 양변을 $x$에 대하여 적분하면 $\ln \left| f ( x ) \right|$$\displaystyle = \frac{1}{3} x ^{3} + x + C$ (단, $C$는 적분상수) $\left| f ( x ) \right|$$\displaystyle = e ^{\frac{1}{3} x ^{3} + x + C}$ 조건 (가)에서 $f ( 0 )$$= 1$$> 0$이고 함수 $f ( x )$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로 $\displaystyle f \left( x \right) = e ^{\frac{1}{3} x ^{3} + x + C}$ $f \left( 0 \right) = 1$에서 $C$ $= 0$ 따라서 $f ( x )$$\displaystyle = e ^{\frac{1}{3} x ^{3} + x}$이므로 $f ( 3 ) = e ^{12}$