미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

역함수 미분 극한

문제

. 함수 f(x)=ex−1f ( x ) = e ^{x - 1}의 역함수 g(x)g ( x )에 대하여 lim⁡h→0g(1+h)−g(1−2h)h\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0} {\frac{g ( 1 + h ) - g ( 1 - 2 h )}{h}}의 값을 구하시오. [3점]

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3

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해설

[출제의도] 역함수의 미분법을 이해하여 미분계수를 구한다. 함수 f(x)=ex−1f ( x ) = e ^{x - 1}에서 ex−1=1e ^{x - 1} = 1일 때 x=1x = 1 즉, g(1)=1g ( 1 ) = 1이다. 따라서 f′(x)=ex−1f' ( x ) = e ^{x - 1}이므로 lim⁡h→0g(1+h)−g(1−2h)h\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0} {\frac{g ( 1 + h ) - g ( 1 - 2 h )}{h}} =3g′(1)= 3 g' ( 1 )=3f′(1)=3e1−1=3\displaystyle = \frac{3}{f' ( 1 )} = \frac{3}{e ^{1 - 1}} = 3

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#역함수의 미분법#미분계수

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