미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

역함수 미분 극한

문제

함수 f(x)=x3+3x2+4x+5f \left( x \right) = x ^{3} + 3 x ^{2} + 4 x + 5의 역함수 g(x)g \left( x \right)에 대하여 lim⁡n→∞n{g(1+1n)−g(1−2n)}\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {n \left\{ g \left( 1 + \frac{1}{n} \right) - g \left( 1 - \frac{2}{n} \right) \right\}} 의 값을 pp라 할 때, 4p4 p의 값을 구하시오. [4점]

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해설

1n=h\displaystyle \frac{1}{n} = h라 하면, n→∞n \rightarrow \infty일 때, h→0h \rightarrow 0이다. (준식)=lim⁡h→0{g(1+h)−g(1)}−{g(1−2h)−g(1)}h\displaystyle = \lim\limits _{h \rightarrow 0} {\frac{\left\{ g \left( 1 + h \right) - g ( 1 ) \right\} - \left\{ g \left( 1 - 2 h \right) - g ( 1 ) \right\}}{h}} =lim⁡h→0g(1+h)−g(1)h+2lim⁡h→0g(1−2h)−g(1)−2h\displaystyle = \lim\limits _{h \rightarrow 0} {\frac{g \left( 1 + h \right) - g ( 1 )}{h} + 2 \lim\limits _{h \rightarrow 0} {\frac{g \left( 1 - 2 h \right) - g ( 1 )}{- 2 h}}} =g′(1)+2g′(1)=3g′(1)= g' ( 1 ) + 2 g' ( 1 ) = 3 g' ( 1 ) g(1)=f−1(1)=ag ( 1 ) = f ^{- 1} ( 1 ) = a라 하면 f(a)=1f ( a ) = 1이므로 f(a)=a3+3a2+4a+5=1f ( a ) = a ^{3} + 3 a ^{2} + 4 a + 5 = 1에서 a=−2a = - 2이다. f′(x)=3x2+6x+4f' ( x ) = 3 x ^{2} + 6 x + 4에서 f′(−2)=4f' ( - 2 ) = 4이고 g(f(x))=xg \left( f \left( x \right) \right) = x에서 g′(f(x))=1f′(x)\displaystyle g' \left( f \left( x \right) \right) = \frac{1}{f' \left( x \right)}이므로 3g′(1)=3×1f′(−2)=34\displaystyle 3 g' ( 1 ) = 3 \times \frac{1}{f' ( - 2 )} = \frac{3}{4}이다. 따라서 4p=34 p = 3

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#역함수의 미분법#미분계수

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