미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

역함수 미분 극한

문제

함수 $f ( x ) = 3 e ^{5x} + x + \sin x$ 의 역함수를 $g ( x )$ 라 할 때, 곡선 $y = g ( x )$ 는 점 $( 3 , 0 )$ 을 지난다. $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 3} \frac{x - 3}{g ( x ) - g ( 3 )}$ 의 값을 구하시오. [3점]

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해설

$f' ( x ) = 15 e ^{5 x} + 1 + \cos x$ $f' ( 0 ) = 15 e ^{0} + 1 + \cos 0 = 17$ $g ( x )$ 는 $( 3 , 0 )$ 을 지나고 미분가능하므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 3} {\frac{x - 3}{g ( x ) - g ( 3 )} = \frac{1}{g' ( 3 )}} = f' ( 0 ) = 17$

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