미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

역함수 미분

문제

함수 f(x)=x(ex−1+3)f ( x ) = x ( e ^{x - 1} + 3 )에 대하여 함수 f(2x−1)f ( 2 x - 1 )의 역함수를 g(x)g ( x )라 할 때, 곡선 y=g(x)y = g ( x )위의 점 (f(1),g(f(1)))( f ( 1 ) , g ( f ( 1 ) ) )에서의 접선의 기울기는? [3점]

①12\displaystyle \frac{1}{2}②14\displaystyle \frac{1}{4}③16\displaystyle \frac{1}{6}④18\displaystyle \frac{1}{8}⑤110\displaystyle \frac{1}{10}

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⑤

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해설

[출제의도] 이해능력-미분법 함수 f(2x−1)f ( 2 x - 1 )의 역함수가 g(x)g ( x )이므로 g(f(2x−1))=x⋯㉠g ( f ( 2 x - 1 ) ) = x \cdots \text{㉠} ㉠의 양변을 xx에 대하여 미분하면 g′(f(2x−1))×f′(2x−1)×2=1⋯㉡g' ( f ( 2 x - 1 ) ) \times f' ( 2 x - 1 ) \times 2 = 1 \cdots \text{㉡} ㉡의 양변에 x=1x = 1을 대입하면 g′(f(1))×f′(1)×2=1g' ( f ( 1 ) ) \times f' ( 1 ) \times 2 = 1이므로 g′(f(1))=12f′(1)\displaystyle g' ( f ( 1 ) ) = \frac{1}{2 f' ( 1 )} f′(x)=ex−1+3+xex−1f' ( x ) = e ^{x - 1} + 3 + xe ^{x - 1}에서 f′(1)=1+3+1=5f' ( 1 ) = 1 + 3 + 1 = 5이므로 g′(f(1))=12×5=110\displaystyle g' ( f ( 1 ) ) = \frac{1}{2 \times 5} = \frac{1}{10}

태그

#역함수 미분법

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