역함수 미분

[출제의도] 역함수의 미분법을 이용하여 접선의 기울기를 구한다. $g ( 4 ) = k$라 하면 $f ( k ) = 4$ $k ^{3} - 5 k ^{2} + 9 k - 5 = 4$ $k ^{3} - 5 k ^{2} + 9 k - 9 = 0$ $( k - 3 ) \left( k ^{2} - 2 k + 3 \right) = 0$ $k$는 실수이므로 $k = 3$ $f ( x ) = x ^{3} - 5 x ^{2} + 9 x - 5$에서 $f' \left( x \right) = 3 x ^{2} - 10 x + 9$ 이므로 $f' \left( 3 \right) = 6$ 따라서 역함수의 미분법에 의하여 $\displaystyle g' \left( 4 \right) = \frac{1}{f' \left( g \left( 4 \right) \right)} = \frac{1}{f' \left( 3 \right)}$$\displaystyle = \frac{1}{6}$