미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

역함수 존재 삼차함수

문제

함수 f(x)=13x3−ax2+3ax\displaystyle f ( x ) = \frac{1}{3} x ^{3} - ax ^{2} + 3 ax의 역함수가 존재하도록 하는 상수 aa의 최댓값은? [4점] ①33②44③55④66⑤77

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①

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해설

[출제의도] 삼차함수의 역함수가 존재할 조건을 구할 수 있는가 ? 삼차함수 f(x)f ( x )의 역함수가 존재할 필요충분조건은 이차방정식 f′(x)=x2−2ax+3a=0f' ( x ) = x ^{2} - 2 ax + 3 a = 0 이 서로 다른 두 실근을 갖지 않는 것이다. 따라서 판별식을 DD라 하면 D4=a2−3a≤0\displaystyle \frac{D}{4} = a ^{2} - 3 a \leq 0 이므로 0≤a≤30 \leq a \leq 3이다. 따라서 상수 aa의 최댓값은 3이다.

태그

#역함수#증가함수

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