역함수 존재 조건

[출제의도] 역함수 문제 해결하기 함수 $f \left( x \right)$의 역함수가 존재하려면 함수 $f \left( x \right)$가 일대일대응이 되어야 하므로 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프가 아래 그림과 같은 형태가 되어야 한다.

$y = f \left( x \right)$

즉, 곡선 $y = a \left( x - 2 \right) ^{2} + b$가 점 $\left( 2 , 6 \right)$을 지나야 하므로 $b = 6$이다. 또, $x \geq 2$일 때, 함수 $f \left( x \right)$의 그래프가 기울기가 음수인 직선이므로 $x < 2$일 때, 곡선 $y = a \left( x - 2 \right) ^{2} + b$의 모양은 아래로 볼록해야 한다. 즉, $a > 0$이다. 따라서 정수 $a$의 최솟값은 $1$이므로 $a + b$의 최솟값은 $7$이다.