역함수 존재 조건

함수 $f ( x )$의 역함수가 존재하려면 $f ( x )$는 일대일대응이어야 한다. $a + 7 = 0$ 또는 $- a + 5 = 0$일 때 $f ( x )$는 일대일대응이 아니다. 그러므로 $a \neq - 7$, $a \neq 5$이다. 함수 $f ( x )$가 일대일대응이기 위해서는 직선 $y = ( a + 7 ) x - 1$의 기울기 $a + 7$과 직선 $y = ( - a + 5 ) x + 2 a + 1$의 기울기 $- a + 5$의 부호가 같아야 한다. 그러므로 $\left( a + 7 \right) \left( - a + 5 \right) > 0$, $\left( a + 7 \right) \left( a - 5 \right) < 0$ $- 7 < a < 5$ 따라서 이를 만족시키는 정수 $a$는 $- 6$, $- 5$, $\cdots$, $4$이고 그 개수는 $\mathrm{11}$이다.