역함수 존재 조건

$f ( x )$가 역함수를 갖기 위해선 $f' ( x ) \geq 0$ 또는 $f' ( x ) \leq 0$이어야 한다. $f ( x )$를 미분하면 $f' ( x ) = e ^{x + 1} \left\{ x ^{2} + \left( n - 2 \right) x - n + 3 \right\} + e ^{x + 1} \left\{ 2 x + \left( n - 2 \right) \right\} + a$ $f' ( x ) = e ^{x + 1} \left( x ^{2} + nx + 1 \right) + a$이다 이때 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {f' ( x ) = \infty}$이고 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - \infty} {f' ( x ) = a}$이므로 $f ( x )$가 역함수를 갖기 위해선 $f' ( x ) \geq 0$이어야 한다. $f'' ( x )$를 구하면 $f'' ( x ) = e ^{x + 1} \left( x ^{2} + nx + 1 \right) + e ^{x + 1} \left( 2 x + n \right)$ $f'' ( x ) = e ^{x + 1} \left( x ^{2} + ( n + 2 ) x + n + 1 \right)$ $= e ^{x + 1} \left( x + 1 \right) \left\{ x + ( n + 1 ) \right\}$이므로 $f' ( x )$는 $x = - 1$에서 극소이며 최솟값이므로 $f' ( x )$의 그래프를 그려보면

따라서 $f' ( - 1 ) = e ^{0} \left\{ ( - 1 ) ^{2} + n ( - 1 ) + 1 \right\} + a = 2 - n + a \geq 0$ $\therefore a \geq n - 2$ 따라서 $\therefore g ( n ) = n - 2$ $1 \leq g ( n ) \leq 8$ $\leftrightarrow 1 \leq n - 2 \leq 8$ $\leftrightarrow 3 \leq n \leq 10$ 따라서 $n = 3 , 4 , \cdots , 10$이고 $\displaystyle \therefore \sum\limits _{k = 3} ^{10} k = \sum\limits _{k = 1} ^{10} k - \sum\limits _{k = 1} ^{2} k = 55 - 3 = 52$