역함수 조건 함수

[출제의도] 합성함수와 역함수를 이용하여 추론하기 함수 $f$는 역함수가 존재하므로 일대일대응이다. 조건 (가)에서 $x = 1$, $2$, $6$일 때 $f \left( f \left( x \right) \right) + f ^{- 1} \left( x \right) = 2 x$이므로 (ⅰ) $x = 1$일 때, $f \left( f \left( 1 \right) \right) + f ^{- 1} \left( 1 \right) = 2$이고 $f \left( f \left( 1 \right) \right) \in X$, $f ^{- 1} \left( 1 \right) \in X$이므로 $f \left( f \left( 1 \right) \right) = f ^{- 1} \left( 1 \right) = 1$ $\therefore$ $f \left( 1 \right) = 1$ (ⅱ) $x = 2$일 때, $f \left( f \left( 2 \right) \right) + f ^{- 1} \left( 2 \right) = 4$이고 $\left. f \left( f \left( 2 \right) \right) \in X \right.$, $f ^{- 1} \left( 2 \right) \in X$이므로 $f \left( f \left( 2 \right) \right) = 1$이면 $f \left( 2 \right) = 1$이므로 함수 $f$가 일대일대응인 것에 모순이다. $f ^{- 1} \left( 2 \right) = 1$이면 $f \left( 1 \right) = 2$이므로 $f \left( 1 \right) = 1$에 모순이다. 따라서 $f \left( f \left( 2 \right) \right) = f ^{- 1} \left( 2 \right) = 2$ $\therefore$ $f \left( 2 \right) = 2$ (ⅲ) $x = 6$일 때, $f \left( 6 \right) \ne 6$, $f \left( f \left( 6 \right) \right) + f ^{- 1} \left( 6 \right) = 12$이고 $f \left( f \left( 6 \right) \right) \in X$, $f ^{- 1} \left( 6 \right) \in X$이므로 $f \left( f \left( 6 \right) \right) = 7$, $f ^{- 1} \left( 6 \right) = 5$ 또는 $f \left( f \left( 6 \right) \right) = 5$, $f ^{- 1} \left( 6 \right) = 7$ $f \left( f \left( 6 \right) \right) = 7$, $f ^{- 1} \left( 6 \right) = 5$인 경우 $f \left( 5 \right) = 6$이고 $f \left( 3 \right) + f \left( 5 \right) = 10$이므로 $f \left( 3 \right) = 4$ $f \left( 6 \right) = a$라 하면 $f \left( a \right) = 7$이므로 $a = 6$ 또는 $a = 7$ $f \left( 6 \right) \ne 6$이므로 $a \ne 6$ $a = 7$이면 $f \left( 6 \right) = 7$이고 $f \left( f \left( 6 \right) \right) = 7$에서 $f \left( 7 \right) = 7$이므로 함수 $f$가 일대일대응인 것에 모순이다. $f \left( f \left( 6 \right) \right) = 5$, $f ^{- 1} \left( 6 \right) = 7$인 경우 $f \left( 7 \right) = 6$이고 $f \left( 3 \right) + f \left( 5 \right) = 10$이므로 $f \left( 3 \right) = 3$, $f \left( 5 \right) = 7$ 또는 $f \left( 3 \right) = 7$, $f \left( 5 \right) = 3$ 따라서 $f \left( 6 \right) = 4$ 또는 $f \left( 6 \right) = 5$ $f \left( 6 \right) = 5$이면 $f \left( f \left( 6 \right) \right) = 5$에서 $f \left( f \left( 6 \right) \right) = f \left( 5 \right) = 5$ 이므로 함수 $f$가 일대일대응인 것에 모순이다. $f \left( 6 \right) = 4$이면 $f \left( 4 \right) = 5$이고 $f \left( f \left( 6 \right) \right) = f \left( 4 \right) = 5$이다. 이때 함수 $f$는 주어진 조건을 모두 만족한다. 따라서 $f \left( 4 \right) = 5$, $f \left( 6 \right) = 4$, $f \left( 7 \right) = 6$이므로 $f \left( 4 \right) \times \left\{ f \left( 6 \right) + f \left( 7 \right) \right\} = 5 \times \left( 4 + 6 \right) = 50$