역함수 조건

[출제의도] 역함수의 성질을 이용하여 조건을 만족시키는 함수를 추론한다. 함수 ${f}$의 역함수가 존재하므로 함수 ${f}$는 일대일대응이다. ${f ( 1 ) + 2 f ( 3 ) = 12}$이고 ${f}$는 일대일대응이므로 ${f ( 1 ) = 2}$, ${f ( 3 ) = 5}$ …… ㉠ ${f ^{- 1} ( 1 ) - f ^{- 1} ( 3 ) = 2}$에서 ${f ^{- 1} ( 1 ) {\in} X}$, ${f ^{- 1} ( 3 ) {\in} X}$이므로 ${f ^{- 1} ( 1 ) = 3}$, ${f ^{- 1} ( 3 ) = 1}$ 또는 ${f ^{- 1} ( 1 ) = 4}$, ${f ^{- 1} ( 3 ) = 2}$ 또는 ${f ^{- 1} ( 1 ) = 5}$, ${f ^{- 1} ( 3 ) = 3}$이다. ㉠에서 ${f ^{- 1} ( 2 ) = 1}$, ${f ^{- 1} ( 5 ) = 3}$이고 함수 ${f ^{- 1}}$도 일대일대응이므로 ${f ^{- 1} ( 1 ) = 4}$, ${f ^{- 1} ( 3 ) = 2}$이다. 즉, ${f ( 1 ) = 2}$, ${f ( 2 ) = 3}$, ${f ( 3 ) = 5}$, ${f ( 4 ) = 1}$이고 함수 ${f}$는 일대일대응이므로 ${f ( 5 ) = 4}$이다. 즉, ${f ^{- 1} ( 4 ) = 5}$ 따라서 ${f ( 4 ) + f ^{- 1} ( 4 )}$${= 1 + 5}$${= 6}$ [참고]