미적분Ⅱ정적분의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

역함수 적분과 급수

문제

폐구간 [0,1][ 0 , 1 ]에서 정의된 연속함수 f(x)f ( x )가 f(0)=0f ( 0 ) = 0, f(1)=1f ( 1 ) = 1이며, 개구간 (0,1)( 0 , 1 )에서 이계도함수를 갖고 f′(x)>0f' ( x ) > 0, f′′(x)>0f'' ( x ) > 0일 때, ∫01{f−1(x)−f(x)}dx\displaystyle \int _{0} ^{1} {\left\{ f ^{- 1} ( x ) - f ( x ) \right\} dx}의 값과 같은 것은? [3점] ①lim⁡n→∞∑k=1n{kn−f(kn)}12n\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\sum\limits _{k = 1} ^{n} \left\{ \frac{k}{n} - f \left( \frac{k}{n} \right) \right\} \frac{1}{2 n}}②lim⁡n→∞∑k=1n{kn−f(kn)}2n\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left. \sum\limits _{k = 1} ^{n} \left\{ \frac{k}{n} - f \left( \frac{k}{n} \right) \right. \right\} \frac{2}{n}}③lim⁡n→∞∑k=1n{kn−f(kn)}1n\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left. \sum\limits _{k = 1} ^{n} \left\{ \frac{k}{n} - f \left( \frac{k}{n} \right) \right. \right\} \frac{1}{n}}④lim⁡n→∞∑k=1n{k2n−f(kn)}1n\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left. \sum\limits _{k = 1} ^{n} \left\{ \frac{k}{2 n} - f \left( \frac{k}{n} \right) \right. \right\} \frac{1}{n}}⑤lim⁡n→∞∑k=1n{2kn−f(kn)}1n\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left. \sum\limits _{k = 1} ^{n} \left\{ \frac{2 k}{n} - f \left( \frac{k}{n} \right) \right. \right\} \frac{1}{n}}

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②

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해설

f′(x)>0,f′′(x)>0f' ( x ) > 0 , f'' ( x ) > 0이므로 연속함수 f(x)f ( x )의 그래프는 구간 [0,1]\left[ 0 , 1 \right]에서 아래로 볼록하게 증가한다. 또, 역함수 f−1(x)f ^{-1} ( x )의 그래프는 곡선 y=f(x)y = f ( x )와 직선 y=xy = x에 대하여 대칭이므로 다음 그래프와 같다.

이때, ∫01{f−1(x)−f(x)}dx\displaystyle \int _{0} ^{1} \{ f ^{-1} ( x ) - f ( x ) \} dx의 값은 위 그림에서 색칠한 부분의 넓이와 같고, 이는 직선 y=xy = x와 곡선 y=f(x)y = f ( x )로 둘러싸인 부분의 넓이의 22배와 같다. 직선 y=xy = x와 곡선 y=f(x)y = f ( x )로 둘러싸인 부분의 넓이는 정적분의 정의에 의해 ∫01{x−f(x)}dx\displaystyle \int _{0} ^{1} \{ x - f ( x ) \} dx=lim⁡n→∞∑k=1n{kn−f(kn)}1n\displaystyle = \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \sum\limits _{k=1} ^{n} \left\{ \frac{k}{n} - f \left( \frac{k}{n} \right) \right\} \frac{1}{n}이므로 ∫01{f−1(x)−f(x)}dx\displaystyle \int _{0} ^{1} \{ f ^{-1} ( x ) - f ( x ) \} dx=2∫01{x−f(x)}dx\displaystyle = 2 \int _{0} ^{1} \{ x - f ( x ) \} dx =2lim⁡n→∞∑k=1n{kn−f(kn)}1n\displaystyle = 2 \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \sum\limits _{k=1} ^{n} \left\{ \frac{k}{n} - f \left( \frac{k}{n} \right) \right\} \frac{1}{n}=lim⁡n→∞∑k=1n{kn−f(kn)}2n\displaystyle = \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \sum\limits _{k=1} ^{n} \left\{ \frac{k}{n} - f \left( \frac{k}{n} \right) \right\} \frac{2}{n}

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#정적분과 급수#역함수

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