역함수 합성 미분

$k \left( x \right) = \left( h \circ g \right) \left( x \right)$라 하면 $k \left( x \right) = e ^{g \left( x \right)}$이고, $k' \left( x \right) = e ^{g \left( x \right)} \times g' \left( x \right)$ $\cdots \cdots$ ㉠ $g \left( 5 \right) = a$라 하면 $f \left( a \right) = 5$에서 $a ^{3} + 3 a + 1 = 5$, $a ^{3} + 3 a - 4 = 0$ $\left( a - 1 \right) \left( a ^{2} + a + 4 \right) = 0$ $a = 1$이므로 $g \left( 5 \right) = 1$ $f' \left( x \right) = 3 x ^{2} + 3$에서 $\displaystyle g' \left( 5 \right) = \frac{1}{f' \left( 1 \right)} = \frac{1}{6}$ 따라서 ㉠에서 $\displaystyle k' \left( 5 \right) = e ^{g \left( 5 \right)} \times g' \left( 5 \right) = \frac{e}{6}$이다.