역함수 구분구적

$\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{2}{n} \sum\limits _{k=1} ^{n} f \left( 2 + \frac{2 k}{n} \right)$$\displaystyle = \int _{2} ^{4} f ( x ) dx$ $\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{8}{n} \sum\limits _{k=1} ^{n} g \left( a + \frac{8 k}{n} \right) = \int _{a} ^{a+8} g ( x ) dx$ 함수 $f ( x )$가 모든 실수에서 연속이고 역함수가 존재하므로 구간 $[ 2 , 4 ]$에서 $y = f ( x )$의 그래프는 그림과 같이 $( 2 , a )$에서 $( 4 , a + 8 )$까지 증가하는 모양이다.

$\displaystyle \int _{2} ^{4} f ( x ) dx$의 값은 위 그림의 $\mathrm{A}$부분의 넓이와 같고, $\displaystyle \int _{a} ^{a+8} g ( x ) dx$의 값은 위 그림의 $\mathrm{B}$부분의 넓이와 같다. $\displaystyle \int _{2} ^{4} f ( x ) dx + \int _{a} ^{a+8} g ( x ) dx$$= 50$에서 $4 ( a + 8 ) - 2 a$$= 50$ ∴ $a = 9$