역함수 그래프 대칭점

[출제의도] 유리함수와 그 역함수 이해하기 함수 $\displaystyle y = \frac{2 x + 5}{x + 3}$를 $x$에 대하여 풀면 $\displaystyle x = \frac{- 3 y + 5}{y - 2}$이고 여기서 $x$와 $y$를 서로 바꾸면 $\displaystyle y = \frac{- 3 x + 5}{x - 2}$이다. $\displaystyle f ^{- 1} \left( x \right) = \frac{- 3 x + 5}{x - 2} = \frac{- 3 \left( x - 2 \right) - 1}{x - 2} = \frac{- 1}{x - 2} - 3$이므로 함수 $f ^{- 1} \left( x \right)$의 그래프는 점 $( 2 , - 3 )$에 대하여 대칭이다. 따라서 $p = 2 , q = - 3$이므로 $p - q = 5$이다. [다른 풀이] $\displaystyle f \left( x \right) = \frac{2 x + 5}{x + 3} = \frac{2 \left( x + 3 \right) - 1}{x + 3} = \frac{- 1}{x + 3} + 2$이므로 $f \left( x \right)$의 그래프는 점 $\left( - 3 , 2 \right)$에 대하여 대칭이다. 또한 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 함수 $y = f ^{- 1} \left( x \right)$의 그래프는 직선 $y = x$에 대하여 대칭이다. 점 $\left( - 3 , 2 \right)$를 직선 $y = x$에 대하여 대칭이동하면 점 $\left( 2 , - 3 \right)$이므로 $y = f ^{- 1} \left( x \right)$의 그래프는 점 $\left( 2 , - 3 \right)$에 대하여 대칭이다. 따라서 $p = 2 , q = - 3$이므로 $p - q = 5$이다.