미적분Ⅱ정적분의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

역함수 급수 극한과 정적분

문제

다음은 연속함수 y=f(x)y = f ( x )의 그래프이다.

구간 [0,1][ 0 , 1 ]에서 함수 f(x)f ( x )의 역함수 g(x)g ( x )가 존재하고 연속일 때, 극한값 lim⁡n→∞∑k=1n{g(kn)−g(k−1n)}kn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\sum\limits _{k = 1} ^{n}} \left\{ g \left( \frac{k _{}}{n} \right) - g \left( \frac{k - 1 _{}}{n} \right) \right\} \frac{k _{}}{n}와 같은 값을 갖는 것은? [4점] ①∫01g(x)dx\displaystyle \int _{0} ^{1} {g ( x ) dx}②∫01xg(x)dx\displaystyle \int _{0} ^{1} {x g ( x ) dx}③∫01f(x)dx\displaystyle \int _{0} ^{1} {f ( x ) dx}④∫01xf(x)dx\displaystyle \int _{0} ^{1} {x f ( x ) dx}⑤∫01{f(x)−g(x)}dx\displaystyle \int _{0} ^{1} {\left\{ f ( x ) - g ( x ) \right\} dx}

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③

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해설

∑k=1n{g(kn)−g(k−1n)}kn\displaystyle \sum\limits _{k=1} ^{n} \left\{ g \left( \frac{k}{n} \right) - g \left( \frac{k - 1}{n} \right) \right\} \frac{k}{n} ={g(1n)−g(0)}1n+{g(2n)−g(1n)}2n\displaystyle = \left\{ g \left( \frac{1}{n} \right) - g \left( 0 \right) \right\} \frac{1}{n} + \left\{ g \left( \frac{2}{n} \right) - g \left( \frac{1}{n} \right) \right\} \frac{2}{n} +{g(3n)−g(2n)}3n\displaystyle + \left\{ g \left( \frac{3}{n} \right) - g \left( \frac{2}{n} \right) \right\} \frac{3}{n}+⋯+{g(nn)−g(n−1n)}nn\displaystyle + \cdots + \left\{ g \left( \frac{n}{n} \right) - g \left( \frac{n - 1}{n} \right) \right\} \frac{n}{n} =g(1)−{g(0)+g(1n)+g(2n)+⋯+g(n−1n)}1n\displaystyle = g ( 1 ) - \left\{ g ( 0 ) + g \left( \frac{1}{n} \right) + g \left( \frac{2}{n} \right) + \cdots + g \left( \frac{n - 1}{n} \right) \right\} \frac{1}{n} =1−∑k=0n−1g(kn)1n\displaystyle = 1 - \sum\limits _{k = 0} ^{n - 1} g \left( \frac{k}{n} \right) \frac{1}{n} ∴ (주어진 식)=1−∫01g(x)dx=∫01f(x)dx\displaystyle = 1 - \int _{0} ^{1} g ( x ) dx = \int _{0} ^{1} f ( x ) dx

태그

#구분구적법#역함수

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