역함수 갖는 연속함수

$g \left( x \right)$가 실수 전체의 집합에서 연속이고 역함수를 가지려면 $g \left( x \right)$는 일대일대응이어야 한다. $f' \left( x \right) = 3 e ^{3 x} - a$, $\displaystyle g' \left( x \right) = {\begin{cases} f' ( x ) & & \left( x > k \right) \\ - f' ( x ) & & \left( x < k \right) \end{cases}}$에서 $a \leq 0$이면 모든 실수 $x$에 대해 $f' \left( x \right) > 0$이다. $x > k$일 때 $g' \left( x \right) > 0$이고 $x < k$일 때 $g' \left( x \right) < 0$이므로 $g \left( x \right)$는 역함수를 갖지 않는다. $a > 0$이면 $f' \left( x \right) = 0$에서 $\displaystyle x = \frac{1}{3} \ln \frac{a}{3}$이고 $\displaystyle x < \frac{1}{3} \ln \frac{a}{3}$이면 $f' \left( x \right) < 0$, $\displaystyle x > \frac{1}{3} \ln \frac{a}{3}$이면 $f' \left( x \right) > 0$이므로 $\displaystyle k = \frac{1}{3} \ln \frac{a}{3}$ $g \left( x \right)$가 $x = k$에서 연속이므로 $f \left( k \right) = - f \left( k \right)$, $f \left( k \right) = 0$ $\displaystyle f \left( k \right) = f \left( \frac{1}{3} \ln \frac{a}{3} \right) = \frac{a}{3} - \frac{a}{3} \ln \frac{a}{3} = 0$, $a = 3 e$, $\displaystyle k = \frac{1}{3}$ 따라서 $a \times k = e$