공통수학1행렬과 그 연산수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

역행렬이 존재하지 않는 조건

문제

이차정사각행렬 AA에 대하여 두 행렬 A+2E,A−2EA + 2 E , A - 2 E의 역행렬이 모두 존재하지 않을 때, (A+4E)−1=pA+qE( A + 4 E ) ^{- 1} = pA + qE가 성립한다. 이때 두 실수 p,qp , q의 합 p+qp + q의 값은? (단, EE는 단위행렬이다.) ①11②12\displaystyle \frac{1}{2}③13\displaystyle \frac{1}{3}④14\displaystyle \frac{1}{4}⑤15\displaystyle \frac{1}{5}

정답 보기
④

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

A=(abcd)\displaystyle A = \left( \begin{array}{ll} \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \end{array} \right)라 하면 A+2EA + 2 E=(abcd)+2(1001)\displaystyle = \left( \begin{array}{ll} \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \end{array} \right) + 2 \left( \begin{array}{ll} \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \end{array} \right)=(a+2bcd+2)\displaystyle = \left( \begin{array}{ll} \begin{matrix} a + 2 & b \\ c & d + 2 \end{matrix} \end{array} \right) A−2EA - 2 E=(abcd)−2(1001)\displaystyle = \left( \begin{array}{ll} \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \end{array} \right) - 2 \left( \begin{array}{ll} \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \end{array} \right)=(a−2bcd−2)\displaystyle = \left( \begin{array}{ll} \begin{matrix} a - 2 & b \\ c & d - 2 \end{matrix} \end{array} \right) 이고, A+2EA + 2 E, A−2EA - 2 E의 역행렬이 존재하지 않으므로 (a+2)(d+2)−bc=0( a + 2 ) ( d + 2 ) - bc = 0, (a−2)(d−2)−bc=0( a - 2 ) ( d - 2 ) - bc = 0 즉, ad+2(a+d)−bc=−4ad + 2 ( a + d ) - bc = - 4, ad−2(a+d)−bc=−4ad - 2 ( a + d ) - bc = - 4 두 식을 변끼리 빼면 4(a+d)=04 ( a + d ) = 0 ∴a+d=0\therefore a + d = 0 …… ㉠ 또, 변끼리 더하면 2ad−2bc=−82 ad - 2 bc = - 8 ∴ad−bc=−4\therefore ad - bc = - 4 …… ㉡ 한편, A+4EA + 4 E=(abcd)+4(1001)\displaystyle = \left( \begin{array}{ll} \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \end{array} \right) + 4 \left( \begin{array}{ll} \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \end{array} \right)=(a+4bcd+4)\displaystyle = \left( \begin{array}{ll} {\begin{matrix} a + 4 & b \\ c & d + 4 \end{matrix}} \end{array} \right) 이므로 (A+4E)−1( A + 4 E ) ^{-1} =1(a+4)(d+4)−bc(d+4−b−ca+4)\displaystyle = \frac{1}{( a + 4 ) ( d + 4 ) - bc} \left( \begin{array}{ll} \begin{matrix} d + 4 & - b \\ - c & a + 4 \end{matrix} \end{array} \right) =1ad−bc+4(a+d)+16(−a+4−b−c−d+4)\displaystyle = \frac{1}{ad - bc + 4 ( a + d ) + 16} \left( \begin{array}{ll} \begin{matrix} - a + 4 & - b \\ - c & - d + 4 \end{matrix} \end{array} \right) (∵\because ㉠) =112{−(abcd)+4(1001)}(∵㉠,㉡)\displaystyle \begin{aligned} \\ = \frac{1}{12} \left\{ \begin{array}{lll} - \left( \begin{array}{ll} \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \end{array} \right) + 4 \left( \begin{array}{ll} \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \end{array} \right) \end{array} \right\} ( \because \text{㉠} , \text{㉡} ) \end{aligned} =112(−A+4E)=−112A+13E\displaystyle = \frac{1}{12} ( - A + 4 E ) = - \frac{1}{12} A + \frac{1}{3} E 따라서 p=−112\displaystyle p = - \frac{1}{12}, q=13\displaystyle q = \frac{1}{3}이므로 p+q=−112+13=14\displaystyle p + q = - \frac{1}{12} + \frac{1}{3} = \frac{1}{4}

태그

#역행렬 존재조건#행렬식

비슷한 문제 더 보기

공통수학1 문제 모음공통수학1 행렬과 그 연산 문제 모음수능 문제 모음심화 문제 모음
← 전체 문제 목록으로