공통수학1행렬과 그 연산수능 기출기본 문제 (3점 중반)

역행렬이 없는 조건

문제

행렬 $\displaystyle A = \begin{pmatrix} {1} & {1} \\ {3} & {4} \end{pmatrix}$ 에 대하여 $A + kE$ 의 역행렬이 존재하지 않을 때, $\displaystyle k ^{2} + \frac{1}{k ^{2}}$ 의 값을 구하시오. (단, $k$ 는 상수이고, $E$ 는 단위 행렬이다.) [3점]

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[출제의도] 역행렬의 뜻을 알기 $\displaystyle A + kE = \begin{pmatrix} k + 1 & 1 \\ 3 & k + 4 \end{pmatrix}$ 의 역행렬이 존재하지 않으므로 $( k + 1 ) ( k + 4 ) - 3 = k ^{2} + 5 k + 1 = 0$ 따라서, $\displaystyle k + \frac{1}{k} = - 5$ $\displaystyle k ^{2} + \frac{1}{k ^{2}} = \left( k + \frac{1}{k} \right) ^{2} - 2 = 23$

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