역행렬 성분의 합

[출제의도] 행렬의 성질을 이해하여 역행렬의 성분의 합을 구한다. $A ^{2} - A$$= 3 E$ , $A ^{2} - A - 2 E$$= E$ $( A - 2 E ) ( A + E )$$= E$ 이므로 역행렬의 정의에 의해 $\left( A - 2 E \right) ^{- 1}$$= A + E$ $A$$\displaystyle = \begin{pmatrix} - 12 & - a \\ a & 13 \end{pmatrix}$이므로 $A + E$$\displaystyle = \begin{pmatrix} - 12 & - a \\ a & 13 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$\displaystyle = \begin{pmatrix} - 11 & - a \\ a & 14 \end{pmatrix}$ 따라서 모든 성분의 합은 $3$이다. [다른 풀이] $A ^{2} - A$$= 3 E$, $A ( A - E )$$= 3 E$이므로 $A ^{- 1}$$\displaystyle = \frac{1}{3} ( A - E )$ $A ^{- 1}$$\displaystyle = \frac{1}{a ^{2} - 12 \cdot 13} {\begin{pmatrix} 13 & a \\ - a & - 12 \end{pmatrix}}$$\displaystyle = \frac{1}{3} {\begin{pmatrix} - 13 & - a \\ a & 12 \end{pmatrix}}$ $a ^{2} - 156$$= - 3$, $a ^{2}$$= 153$ $A - 2 E$$\displaystyle = {\begin{pmatrix} - 14 & - a \\ a & 11 \end{pmatrix}}$ $\left( A - 2 E \right) ^{- 1}$$\displaystyle = \frac{1}{a ^{2} - 14 \cdot 11} {\begin{pmatrix} 11 & a \\ - a & - 14 \end{pmatrix}}$ $\displaystyle = \frac{1}{153 - 154} {\begin{pmatrix} 11 & a \\ - a & - 14 \end{pmatrix}}$ $\displaystyle = {\begin{pmatrix} - 11 & - a \\ a & 14 \end{pmatrix}}$ 따라서 $A - 2 E$의 역행렬의 모든 성분의 합은 $3$이다.