역행렬 존재와 충분조건

[출제의도] 역행렬이 존재하기 위한 조건을 구한다. $\displaystyle A = {\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}}$에서 $\displaystyle A - x E = {\begin{pmatrix} 3 - x & 4 \\ 2 & 1 - x \end{pmatrix}}$ 행렬 $A - x E$의 역행렬이 존재하려면 $( 3 - x ) ( 1 - x ) - 4 \times 2 \ne 0$ $x ^{2} - 4 x - 5 \ne 0$ $( x - 5 ) ( x + 1 ) \ne 0$ $x \ne 5$이고 $x \ne - 1$ 조건 $p$를 만족하는 집합을 $P$, 조건 $q$를 만족하는 집합을 $Q$라 할 때 $P = \{ x | x > a \}$ $Q = \{ x | x < - 1 , - 1 < x < 5 , x > 5 \}$ $p$는 $q$이기 위한 충분조건이 되려면 $P \subset Q$이어야 하므로 $a \geq 5$이다. 따라서 $a$의 최솟값은 $5$이다.