공통수학1행렬과 그 연산수능 기출기본 문제 (3점 중반)

역행렬 존재 판별

문제

이차정사각행렬 AA에 대하여 A4=OA ^{4} = O일 때, 역행렬이 존재하는 것을 <보기>에서 모두 고른 것은? (단, EE는 단위행렬이고 OO는 영행렬이다.) [3점]

< 보 기 >
ㄱ. E−AE - A ㄴ. E+AE + A ㄷ. E+A2E + A ^{2}

①ㄱ②ㄱ, ㄴ③ㄱ，ㄷ④ㄴ，ㄷ⑤ㄱ，ㄴ，ㄷ

정답 보기
⑤

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해설

A4=OA ^{4} = O의 양변에 −E- E를 더하면 A4−E=−EA ^{4} - E = - E이므로 E−A4=EE - A ^{4} = E E−A4E - A ^{4}=(E−A)(E+A)(E+A2)= ( E - A ) ( E + A ) ( E + A ^{2} )=E= E이므로 (E−A)−1=(E+A)(E+A2)( E - A ) ^{- 1} = ( E + A ) ( E + A ^{2} ), (E+A)−1=(E−A)(E+A2)( E + A ) ^{- 1} = ( E - A ) ( E + A ^{2} ), (E+A2)−1=(E−A)(E+A)=E−A2( E + A ^{2} ) ^{- 1} = ( E - A ) ( E + A ) = E - A ^{2} 따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 역행렬이 존재한다.

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#역행렬#보기문제

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