역행렬 존재 보기

[출제의도] 역행렬의 정의 이해하기 ㄱ. $A ^{2} = - E$ 이므로 $A ( - A ) = E$ $\therefore A ^{-1} = - A$ (참) ㄴ. $A$의 역행렬이 존재한다면 $A ^{2} - A = A ( A - E ) = O$에서 $A ^{-1} A ( A - E ) = A ^{-1} O$ $A - E = O$ 에서 $A = E$ 는 가정에 모순이므로 $A$의 역행렬은 존재하지 않는다. (거짓) 반례) $\displaystyle \begin{aligned} A = \left( \begin{array}{ll} \begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} \end{array} \right) & \end{aligned}$일 때, $A ^{2} - A = O$ 이고, $A \ne E$ 이지만 $A$의 역행렬이 존재하지 않는다. ㄷ. $A ( 2 A - E ) = E$ 이므로 역행렬의 정의에 의해 $A ^{-1} = 2 A - E$ 따라서 $A ^{-1}$가 존재하므로 $A ^{2006} ( A - E ) = O$ 에서 $\left( A ^{-1} \right) ^{2006} A ^{2006} ( A - E ) = \left( A ^{-1} \right) ^{2006} O$ $A - E = O$ $\therefore A = E$ (참)