공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

역행렬 조건으로 식 간단히 하기

문제

이차정사각형렬 AA에 대하여 A4=EA ^{4} = E이고 A2+A+EA ^{2} + A + E 의 역행렬이 A2−A+EA ^{2} - A + E일 때, (A−1)3+A−1( A ^{-1} ) ^{3} + A ^{-1}을 간단히 나타낸 것은? (단, EE는 단위행렬이고 OO는 영행렬이다.) ①OO②EE③AA④−A- A⑤A+EA + E

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①

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해설

A2+A+EA ^{2} + A + E의 역행렬이 A2−A+EA ^{2} - A + E이므로 (A2+A+E)(A2−A+E)=E( A ^{2} + A + E ) ( A ^{2} - A + E ) = E A4−A3+A2+A3−A2+A+A2−A+E=EA ^{4} - A ^{3} + A ^{2} + A ^{3} - A ^{2} + A + A ^{2} - A + E = E A4+A2+E=EA ^{4} + A ^{2} + E = E A2=−EA ^{2} = - E (∵A4=E)( \because A ^{4} = E ) A(−A)=EA ( - A ) = E ∴A−1=−A\therefore A ^{-1} = - A …… ㉠ 또한 A4=A3A=EA ^{4} = A ^{3} A = E에서 (A3)−1=A( A ^{3} ) ^{-1} = A이므로 (A−1)3=(A3)−1=A( A ^{-1} ) ^{3} = ( A ^{3} ) ^{-1} = A …… ㉡ ㉠, ㉡에 의해 (A−1)3+A−1=A+(−A)=O( A ^{-1} ) ^{3} + A ^{-1} = A + ( - A ) = O

태그

#역행렬#행렬의 거듭제곱

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