역행렬 조건 판단

ㄱ. $( A + B ) ( A ^{- 1} + B ^{- 1} ) = 4 E$에서 $\displaystyle ( A + B ) \frac{1}{4} ( A ^{- 1} + B ^{- 1} ) = E$ 이므로 $\displaystyle ( A + B ) ^{- 1} = \frac{1}{4} \left( A ^{- 1} + B ^{- 1} \right)$ 즉, $A + B$의 역행렬이 존재한다. <참>

ㄴ. $A = E$이면 $A ^{- 1} = E$이므로 주어진 식에서 $( E + B ) ( E + B ^{- 1} ) = 4 E$ $E + B + B ^{- 1} + E = 4 E$ $B + B ^{- 1} = 2 E$ 양변에 $B$를 곱하면 $B ^{2} + E = 2 B$ $( B - E ) ^{2} = O$ 이때, $\displaystyle B = {\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}$으로 놓으면 $( B - E ) ^{2} = O$이지만 $B \ne E$이다. <거짓>

ㄷ. $\displaystyle AB = \frac{1}{2} E$에서 $2 AB = 2 BA = E$이므로 $A ^{- 1} = 2 B$, $B ^{- 1} = 2 A$ 주어진 식에 대입하면 $( A + B ) ( 2 A + 2 B ) = 4 E$ $( A + B ) ^{2} = 2 E$ $A ^{2} + 2 AB + B ^{2} = 2 E$ $A ^{2} + B ^{2} = E$ <참>